3 задание ОГЭ по информатике
Тема: "Значение логического выражения"
Логическое выражение — это символическая запись, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединённых логическими операциями (связками).
В третьем задание ОГЭ логические высказывания представлены в виде математических неравенств или математических высказываний.
Например:
- x > 7
- x <= 6
- x - четное
- сумма цифр числа равна 66
- и т.д.
Любое логическое выражение может принимать следующие значения:
- ИСТИНА (1)
- ЛОЖЬ (0)
Например:
- выражение X > 7, будет принимать значение ИСТИНА на промежутке (7; +∞), и значение ЛОЖЬ на промежутке (-∞; 7].
- высказывание X - нечетное, для числа 45 будет ИСТИННЫМ, а для числа 46 - ЛОЖНЫМ
Логическое выражение представляет собой несколько логических высказываний, между которыми есть логические операции.
Всего в задании используется 3 основных логических операции:
1) Логическое умножение (конъюнкция). Обозначается связкой И.
Логическое умножение двух и более логических высказываний будет ИСТИННЫМ только тогда, когда все выражения ИСТИННЫ.
Пример: Выражение (x <= 5) И (x > 3) будет принимать значение ИСТИНА, только тогда, когда и (x <=5) - ИСТИННО, и (x > 3) - ИСТИННО
ЛОЖНЫМ оно будет, если хотя бы 1 из высказываний ЛОЖНО
2) Логическое сложение (дизъюнкция). Обозначается связкой ИЛИ.
Логическое сложение двух и более логических высказываний будет ЛОЖНЫМ только тогда, когда все выражения ЛОЖНЫ.
Пример: (x <= 5) ИЛИ (x > 3) будет принимать значение ЛОЖЬ, только тогда, когда и (x <=5) - ЛОЖНО, и (x > 3) - ЛОЖНО.
ИСТИННЫМ оно будет, если хотя бы 1 из высказываний ИСТИННО
3) Отрицание (инверсия). Обозначается НЕ.
Меняет значение логического выражения на противоположное.
Пример: Если высказывание (X < 5) - ЛОЖНО (например, при X = 6) , то обратное ему (X >= 5) будет ИСТИННЫМ.
Внимание! Если в логических выражениях встречается инверсия, сразу заменяем её на противоположное выражение.
Таблица замены.
| A | НЕ(A) |
| X < 5 | X >= 5 |
| X > 5 | X <= 5 |
| X <= 5 | X > 5 |
| X >= 5 | X < 5 |
| X = 5 | X ≠ 5 |
| X ≠ 5 | X = 5 |
| X - четное | X - нечетное |
Для решения более сложных заданий, в которых присутствуют одновременно и оператор И, и оператор ИЛИ, необходимо знать некоторые логические преобразования:
1). Двойное отрицание - само выражение:
НЕ(НЕ(А)) = А
2) законы де Моргана:
НЕ (A ИЛИ B) = НЕ(A) И НЕ(B)
НЕ (A И B) = НЕ(A) ИЛИ НЕ(B)
Задание 1.
Напишите наименьшее целое число X, для которого истинно высказывание:
(X > 2) И (X <= 6)
Решение:
По условию задачи:
(X > 2) И (X <= 6) = ИСТИНА
Мы видим два простых высказывания (X > 2) и (X <= 6), между которыми связка И (логическое умножение)
Также мы знаем, что логическое умножение двух и более логических высказываний будет ИСТИННЫМ только тогда, когда все выражения ИСТИННЫ.
Это значит, что (X > 2) должно быть ИСТИННЫМ и (X <= 6) должно быть истинным одновременно.
Далее можно рассматривать решение по разному.
1 вариант.
Получаем, что справедливо следующее выражение:
2 < X <= 6
Необходимо найти наименьшее целое значение X, которое удовлетворяет неравенству.
Так как X должен быть строго больше 2, то наименьшим целым будет число 3.
2 вариант.
Два неравенства должны выполняться одновременно, значит можно составить систему неравенств:
Решение системы приведем на числовой прямой:
По ней видим, что решение находится на промежутке (2; 6].
Так как 2 не входит в этот промежуток, минимальным целым числом будет 3
Ответ: 3.
Задание 2.
Напишите наименьшее целое число x, для которого истинно высказывание:
(X > 2) И НЕ (X > 13).
Решение:
В этом задании нам встречается оператор НЕ. И как было уже выше сказано, заменяем выражение под ним на противоположное:
НЕ (X > 13) = (X <= 13)
Обращаем внимание, что знак ">" (больше) заменяем на "<=" (меньше или равно). Смотри таблицу выше.
Получает новое высказывание, которое должно, по условию задачи, принимать значение ИСТИНА.
(X > 2) И (X <= 13) = ИСТИНА
Составим систему неравенств:
Приведем решение на числовой прямой:
Решение будет находиться на промежутке (2; 13]
А значит минимальным целым числом будет 3.
Ответ: 3.
Задание 3.
Напишите наибольшее целое число x, для которого истинно высказывание:
НЕ (X <= 11) И НЕ (X >= 17) И (X нечетное).
Решение:
Здесь мы имеем дело уже с тремя простыми высказываниями, между которыми операция - логическое умножение.
Для начала упростим выражение убрав все операторы НЕ, заменим выражения на противоположные.
НЕ (X <= 11) = (X > 11)
НЕ (X >= 17) = (X < 17)
Получаем выражение, которое по условию должно быть ИСТИННО:
(X > 11) И (X < 17) И (X нечетное) = ИСТИНА
Логическое умножение трех выражений будет ИСТИННО, когда все выражения ИСТИННЫ.
Составим систему:
Первые два неравенства изобразим на числовой прямой:
Решение нашего неравенство будет находиться на промежутке (11; 17)
Но у нас есть ещё одно условие: X - должно быть нечетным.
Нам необходимо найти наибольшее целое число.
17 нам не подходит, так как не является решением
16 не подходит, так как четно.
Значит максимальным числом будет 16.
Ответ: 16.
Внимание! Внимательно смотрим, что нам нужно найти. Наибольшее или наименьшее.
Задание 4.
Напишите наибольшее двузначное число, для которого истинно высказывание:
(первая цифра нечетная) И НЕ (число делится на 3).
Решение:
В этом задании мы видим, что среди простых высказываний, нет никаких сравнений с числами.
Но решается оно абсолютно также.
Заменяем операторы НЕ на противоположные:
НЕ (число делится на 3) = (число не делится на 3)
Получаем выражение, которое по условию должно быть ИСТИННО:
(первая цифра нечетная) И (число не делится на 3) = ИСТИНА
Оба условия снова должны выполняться одновременно:
По условию надо найти наибольшее двузначное число.
Начинаем рассуждать.
Вообще наибольшим двузначным числом является - 99
- По первому условию (первая цифра - нечетная) оно нам подходит. 9 - первая цифра и она нечетная.
- По второму условию (число НЕ делится на 3) не подходит, так как 99 : 3 = 33.
Значит проверяем следующее число.
Это 98.
Как раз оно подходит нам по обоим условиям.
Ответ: 98.
Задание 5.
Для какого целого числа X ЛОЖНО высказывание:
(X > 3) ИЛИ НЕ (X > 2).
Решение:
Итак мы столкнулись с логической операцией ИЛИ.
Сначала избавимся от лишних НЕ:
(X > 3) ИЛИ (X <= 2)
Выражение должно быть ЛОЖНЫМ по условию:
(X > 3) ИЛИ (X <= 2) = ЛОЖЬ
А логическое сложение двух и более логических высказываний будет ЛОЖНЫМ только тогда, когда все выражения ЛОЖНЫ.
Значит одновременно должны выполняться условия:
Если (X > 3) = ЛОЖЬ, значит противоположное ему (X <= 3) = ИСТИНА.
Аналогично, если (X <= 2) = ЛОЖЬ, значит противоположное ему (X > 2) = ИСТИНА.
И мы возвращаемся к привычному нам решению системы уравнений:
По условию задачи нужно найти целой число. Очевидно, что это будет число 3.
Ответ 3.
Задание 6 (повышенный уровень)
Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющих условию:
НЕ ((Число оканчивается на 5) ИЛИ (Число <= 100))
Решение:
Мы видим, что здесь НЕ стоит перед всем выражением и выражение имеет вид:
НЕ (A ИЛИ B)
Преобразуем его по правилу: НЕ (A ИЛИ B) = НЕ(A) И НЕ(B)
Получим:
НЕ(число оканчивается на 5) И НЕ(число <= 100)
Заменяем оба НЕ на противоположные:
(Число не оканчивается на 5) И (Число > 100)
Наименьше целое число, которое удовлетворяет обоим условиям будет: 101
Ответ: 101
Задание 7 (повышенный уровень)
Напишите наименьшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:
НЕ((x <= 100) ИЛИ (x>=200)) И (x чётное)
Решение:
По формуле НЕ (A ИЛИ B) = НЕ(A) И НЕ(B) преобразуем выражение:
НЕ(x <=100) И НЕ(x >= 200) И (x - четное)
Заменим все НЕ:
(x >100) И (x < 200) И (x - четное)
Число должно быть строго 100, но 101 нам не подходит, так как оно нечетное.
Значит ответом будет число 102.
Ответ: 102.
Для закрепления материала, пройдите ТЕСТ